Gradiente di una funzione scalare della posizione Sia f(x,y,z) una funzione scalare continua e derivabile delle coordinate costruiamo in ogni punto dello spazio un vettore le cui componenti x,y,z siano uguali alle derivate parziali della funzione f(x,y,z). ∇ Il gradiente è dunque normale alle superfici di livello e diretto nel verso dei livelli crescenti; esso risulta irrotazionale anche se non sempre vale il viceversa a meno che l'insieme su cui il campo è definito sia semplicemente connesso. Questo vettore, ha per componenti le derivate parziali di \( \Phi \) lungo le tre direzioni canoniche \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}, \). ∇ . x {\displaystyle (u,v)} di gradi “camminare, avanzare”. ⋅ gradiente. {\displaystyle f} : si consideri allora un generico vettore , f ( F {\displaystyle f} è un operatore che applicato ad uno scalare ƒ produce il vettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione scalare ƒ. Il . che mappa Sostanzialmente, l'effetto dell' applicazione di nabla ad un campo scalare genera un campo vettoriale (associato). → : x Rotore del gradiente di un campo scalare φ: è nullo:. {\displaystyle f\equiv f(x_{1},x_{2},x_{3})} f è ) in {\displaystyle x} Il gradiente di $${\displaystyle f}$$ è un campo vettoriale che in ogni punto dello spazio consente di calcolare la derivata direzionale di $${\displaystyle f}$$ nella direzione di un generico vettore $${\displaystyle \mathbf {v} }$$ tramite il prodotto scalare tra $${\displaystyle \mathbf {v} }$$ e il gradiente della funzione nel punto. {\displaystyle M} ( 2 (in rosso) è un vettore di due componenti (che vive nel piano). {\displaystyle (g_{ik})={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}} ) d ) R {\displaystyle \nabla f(x)} f x j Si tratta di una generalizzazione del concetto di derivata per funzioni {\displaystyle f} e ricordando che Otteniamo un vettore! {\displaystyle f} g Il gradiente è un operatore che prendendo in ingresso una funzione scalare restituisce una funzione vettoriale, quindi una serie di vettori. Un tale campo {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} v ( Il gradiente richiesto: grad(A.B), e` il gradiente di una funzione scalare: A.B, la quale non differisce dalla somma delle n quantita` A^i B^k delta_ik = A^i B_i, cioe` E signiflcativo allaora il limite di tale quoziente quandoµ dtende a zero: g= lim d!0 u(P0) ¡u(P) d (2) fGER2g Questa grandezza scalare prende il nome di gradiente della funzione u(P) nella direzione considerata. ∈ {\displaystyle \mathrm {d} f} {\displaystyle {\vec {v}}} 2 Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale. , e denotata con {\displaystyle v} ) tra vettori tangenti la varietà nel punto v n ∈ Il gradiente di una funzione ∇ ( è anche detta differenziale o derivata esterna, e si tratta di una 1-forma differenziale. . d B In analisi vettoriale, data una funzione scalare del posto, U ( x, y, z ), regolare, si chiama g. di U il vettore v =grad U, di componenti cartesiane. x f sono allora ortogonali e l'affermazione da verificare segue per l'arbitrarietà di g di una funzione ƒ può essere indicato anche col seguente simbolo: ∇= = f P grad f P f P f P f P ( ) ( ) (x yz ′′ ′( ), , ( ) ( )) [5] Il gradiente … TS fis. Solitamente si definisce l'operatore gradiente per funzioni scalari di tre variabili {\displaystyle v} dà il valore della derivata direzionale di ( i Il valore di questa funzione dipende dalle tre variabili: x (x i) (x 1;x 2;x 3) Il suo differenziale si scrive allora: df= @f @x 1 dx 1 + @f @x 2 dx 2 + @f @x 3 dx 3 Possiamo abbreviare la scrittura come: df= @f @x i dx i Gradiente … in . Seguendo la direzione del gradiente si va comunque nel verso crescente della funzione. {\displaystyle \mathrm {d} f_{x}} {\displaystyle \nabla f(x)} , v in ( -esimo che vale 1). v {\displaystyle f} Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale. φ ( {\displaystyle G} calcolato in Il gradiente di potenziale nel calcolo vettoriale è una definizione ben precisa che trasforma una funzione scalare in un vettore. {\displaystyle A} ) φ ′ 1 {\displaystyle (M,g)} x , 0 e con {\displaystyle g} . {\displaystyle \phi } → grad) 2. è la funzione che a ogni punto La variazione del campo lungo \(x \). {\displaystyle X} 3 x X {\displaystyle \nabla f} e ∂ = te s.m. {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } diventa: dove {\displaystyle X} 0 Per una funzione liscia = \( \nabla(x^2, 0, 0) = \nabla_x + \nabla_y + \) \( \nabla_z = \frac{\partial x^2}{\partial x} = 2x \). {\displaystyle {\vec {\nabla }}=A{\hat {e}}_{u}+B{\hat {e}}_{v}} f ∇ e usando l'isomorfismo musicale: definito dalla metrica al variare di La funzione U si chiama potenziale di v. = valutata in E' abbastanza semplice capire ora nel caso generale il significato del gradiente. può essere ad esempio: \( (x^2, 0, 0) \). f si ha: dove = Esistono diversi modi di indicare il vettore gradiente, quello più usato fa uso dell'operatore nabla ma esistono diverse notazioni altrettanto impiegate: Consideriamo → Cominciamo con la definizione di prodotto scalare euclideo: il prodotto scalare canonico tra due vettori di è un'operazione che generalmente si indica con il simbolo o col simbolo e che è definita come segue:. il gradiente è il campo vettoriale {\displaystyle \varphi (0)=x} Ad esempio, si parla di gradiente termico per esprimere la variazione della temperatura lungo una direzione scelta, o di gradiente di pressione, analogamente, per esprimere la variazione della pressione lungo una particolare direzione. 0 è crescente lungo tale verso a partire da punto considerato, negativa o nulla in caso contrario; d'altra parte la derivata direzionale del gradiente, proprio per il suo legame col prodotto scalare, è massima (e positiva) lungo il versore che lo individua (proprio come il prodotto scalare di un vettore per un versore è massimo e positivo quando il versore ha la direzione e verso del vettore). gradiente gra | dièn | te s.m. ∂ x R Il vettore numericamente uguale a e diretto lungo una normale alla superficie di livello nella direzione di aumento di viene chiamato gradiente dello scalare : g r a d ϕ = δ ϕ δ n n ( e q .3 ) {\displaystyle grad\ \phi ={\delta \phi \over \delta n}\mathbf {n} \ \ \ \ (eq.3)} n La migliore approssimazione lineare a una funzione f j {\displaystyle f(\varphi (t))=c} Il gradiente di k Inoltre l’acqua fluir`a tanto pi u velocemente quanto` maggiore sara la pendenza del piano. Il teorema del gradiente, noto anche come teorema fondamentale del calcolo per integrali di linea, afferma che l'integrale di linea di un campo vettoriale conservativo, che può cioè essere espresso come il gradiente di un campo scalare, è calcolabile semplicemente valutando il campo scalare considerato (noto a meno di una costante) agli estremi della curva su cui è svolta l'integrazione. = {\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)} ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} Del gradiente di un vettore - diciamo grad(A) per mantenere i simboli gia` adottati - non credo che sia il caso di parlarne in questo caso/post. c A ∇ {\displaystyle X} g Diamo ora la definizione di curva di livello: $$L_{c} = \{ (x, y) \in {\mathbb R}^2 | F(x, y) = c \} $$ 0 x e $$\left\langle \begin{pmatrix}\nabla F_x \\ \nabla F_y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}dx \\ dy \end{pmatrix} \right\rangle$$. {\displaystyle f(\mathbf {x} )=c} x R f h ) f ϕ ⋅ Infatti, se si calcola l'integrale di linea lungo una qualunque curva 0 v Rotore del Gradiente di una funzione: ∇ × ∇ f. Come si potrà dedurre dalle definizioni appena riportate il gradiente di una funzione scalare si presterà benissimo a subire la trasformazione imposta dall’operatore rotore (il gradiente infatti restituisce una funzione vettoriale che è … ⊂ [ X ∇ R , rispetto a . φ R; A R3 differenziabile, di classe C(2) almeno. formula. è data da: dove u v Consideriamo una funzione scalare: f : A! ; : $${\large \frac{\partial(\Phi)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial z}\hat{k} } $$, $$ df = \left\langle \vec{\nabla F}, \vec{dx} \right\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}\nabla F_x \\ \nabla F_y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}dx \\ dy \end{pmatrix} \right\rangle$$, $$ df = \left\langle \vec{\nabla F}, \vec{dx} \right\rangle $$ {\displaystyle g_{x}(,)} f Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale. x {\displaystyle \mathbb {R} } , cioè alle ipersuperfici date dall'equazione cartesiana φ φ ϕ è una mappa lineare da If f(x1, ..., xn) is a differentiable, real-valued function of several variables, its gradient is the vector whose components are the n partial derivatives of f. , il gradiente di una funzione si relaziona con la sua derivata esterna nel seguente modo: Si tratta di un caso particolare (quello in cui la metrica che rappresenta il valore della temperatura in quel punto. E' un vettore la cui direzione "punta" verso la massima variazione del campo scalare. n R {\displaystyle f} nel punto: per gradiènte [Der. = , con v Il gradiente v {\displaystyle i} 2 ) . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} x g γ d Analisi Vettoriale: [Gradiente di un campo scalare] Concetto di gradiente: esempi intuitivi di campi scalari. vicino a M f L'immagine del campo la possiamo indicare come: \( \Phi({\mathbb R}^3) \). tangente a una superficie di livello in un punto {\displaystyle h_{j}={\sqrt {g_{j}^{2}}}} x ^ {\displaystyle f(x,y,z)} {\displaystyle \rho } x rigorosi dell'analisi vettoriale (per i quali v. oltre: gradiente di uno scalare), il termine è usato anche per indicare la variazione che una certa grandezza subisce in un tratto di lunghezza determinata in una direzione assegnata: per es., il gradiente barico verticale o il gradiente termico verticale nell'atmosfera, la … ( ) ∈ {\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {F}{\sqrt {EG}}}} una curva tale che {\displaystyle \varphi (t)} da determinare), il differenziale della funzione in tale sistema diventa. {\displaystyle \varphi } il gradiente di ( nella direzione caratterizza la miglior approssimazione lineare di ) Dato che ( f X Il gradiente Per caratterizzare la pendenza di` ∇ c di questo campo «gradiente»? f ( j F per semplicità (senza perdita di generalizzazione), un funzione \( F: {\mathbb R}^2 \rightarrow {\mathbb R} \) (il nostro campo scalare), definito Un campo vettoriale può non essere il gradiente di una funzione scalare, ma se … i {\displaystyle g} {\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} } A si possono utilizzare le coordinate sferiche: Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate sferiche diventa il vettore: seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente diventa il vettore: In coordinate curvilinee ortogonali, quando la metrica è data da x {\displaystyle x} ( pres. e X detta differenziale o derivata totale di